Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，一个顶点在抛物线x²=4y的准线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，M，N为椭圆上的两个不同的动点，直线OM，ON的斜率分别为k₁和k₂，若k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，求△MON的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，一个顶点在抛物线x²=4y的准线上，列出方程组求出a=2，b=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+m，（m≠0），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出△MON的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，一个顶点在抛物线x²=4y的准线上，
x²=4y的准线方程为y=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
∴|MN|=$\sqrt{（{k}^{2}+1）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（{k}^{2}+1）[（\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}]}$=$\frac{4\sqrt{（{k}^{2}+1）（4{k}^{2}+1-{m}^{2}）}}{4{k}^{2}+1}$，
点O到直线y=kx+m的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
${S}_{△MON}=\frac{1}{2}|MN|d=\frac{2|m|\sqrt{4{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+1}$=2$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}（1-\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}）}$，
∵k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{{k}^{2}×\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}+km×\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}+{m}^{2}}{\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}}$=$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{4{m}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴4k²=2m²-1，
∴S_△MON=2$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}（1-\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}）}$=2$\sqrt{\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）}$=1．

点评 本题考查椭圆方程、三角形面积的求法，考查韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、直线方程、椭圆性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、方程与函数思想、数形结合思想，是中档题．