Question

19．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x₀，满足f（-x₀）=-f（x₀），则称f（x）为“M类函数”．
（1）已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$），试判断f（x）是否为“M类函数”？并说明理由；
（2）设f（x）=2^x+m是定义在[-1，1]上的“M类函数”，求实数m的最小值；
（3）若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{x^2}-2mx）\\-3\end{array}\right.\begin{array}{l}{，\;\;x≥2}\\{，\;\;x＜2}\end{array}$为其定义域上的“M类函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=-f（x），得：$sin（{-x+\frac{π}{3}}）=-sin（{x+\frac{π}{3}}）$，解得${x_0}=\frac{π}{2}∈R$，可得结论；
（2）若f（x）=2^x+m是定义在[-1，1]上的“M类函数”，则存在实数x₀∈[-1，1]满足f（-x₀）=-f（x₀），即方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，进而可得实数m的最小值；
（3）若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{x^2}-2mx）\\-3\end{array}\right.\begin{array}{l}{，\;\;x≥2}\\{，\;\;x＜2}\end{array}$为其定义域上的“M类函数”，则存在实数x₀，满足f（-x₀）=-f（x₀），进而可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）由f（-x）=-f（x），得：$sin（{-x+\frac{π}{3}}）=-sin（{x+\frac{π}{3}}）$…（1分）
所以$\sqrt{3}cosx=0$…（3分）
所以存在${x_0}=\frac{π}{2}∈R$满足f（-x₀）=-f（x₀）
所以函数$f（x）=sin（{x+\frac{π}{3}}）$是“M类函数”…（4分）
（2）因为f（x）=2^x+m是定义在[-1，1]上的“M类函数”，
所以存在实数x₀∈[-1，1]满足f（-x₀）=-f（x₀），
即方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，…（5分）
令$t={2^x}∈[{\frac{1}{2}，2}]$…（6分）
则$m=-\frac{1}{2}（t+\frac{1}{t}）$
因为$g（t）=-\frac{1}{2}（t+\frac{1}{t}）$在$[\frac{1}{2}，1]$上递增，在[1，2]上递减…（8分）
所以当$t=\frac{1}{2}$或t=2时，m取最小值$-\frac{5}{4}$…（9分）
（3）由x²-2mx＞0对x≥2恒成立，得m＜1…（10分）
因为若$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{x^2}-2mx）\\-3\end{array}\right.\begin{array}{l}{，\;\;x≥2}\\{，\;\;x＜2}\end{array}$为其定义域上的“M类函数”
所以存在实数x₀，满足f（-x₀）=-f（x₀）
 ①当x₀≥2时，-x₀≤-2，
所以$-3=-{log_2}（{x_0}^2-2m{x_0}）$，所以$m=\frac{1}{2}{x_0}-\frac{4}{x_0}$
因为函数$y=\frac{1}{2}x-\frac{4}{x}（x≥2）$是增函数，所以m≥-1…（12分）
 ②当-2＜x₀＜2时，-2＜-x₀＜2，所以-3=3，矛盾…（13分）
 ③当x₀≤-2时，-x₀≥2，所以${log_2}（{x_0}^2+2m{x_0}）=3$，所以$m=-\frac{1}{2}{x_0}+\frac{4}{x_0}$
因为函数$y=-\frac{1}{2}x+\frac{4}{x}（x≤-2）$是减函数，所以m≥-1…（15分）
综上所述，实数m的取值范围是[-1，1）…（16分）

点评 本题考查的知识点是分段函数的定义，新定义“M类函数”，正确理解新定义“M类函数”的含义，是解答的关键．