Question

4．双曲线${x^2}-{\frac{y}{3}^2}$=1的左右两焦点分别是F₁，F₂，若点P在双曲线上，且∠F₁PF₂为锐角，则点P的横坐标的取值范围是（$\frac{\sqrt{7}}{2}$，+∞）∪（-∞，-$\frac{\sqrt{7}}{2}$）．

Answer 1

分析 由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠F₁PF₂为直角时P的坐标，可得∠F₁PF₂为锐角时点P的横坐标的取值范围

解答 解：不妨以P在双曲线右支为例
由PF₁⊥PF₂，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16，
又|PF₁|-|PF₂|=2，①
两边平方得：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4，
∴|PF₁||PF₂|=6，②
联立①②解得：|PF₂|=$\sqrt{7}-1$，
由焦半径公式得|PF₂|=$\sqrt{7}-1$=ex-a，即可得点P的横坐标为$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
根据对称性，则点P的横坐标的取值范围是（$\frac{\sqrt{7}}{2}，+∞$）$∪（-∞，-\frac{\sqrt{7}}{2}$）．
故答案为：是（$\frac{\sqrt{7}}{2}，+∞$）$∪（-∞，-\frac{\sqrt{7}}{2}$）

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．