Question

18．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的右焦点是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，直线y=kx+m与抛物线交于A，B两个不同的点，点M（2，2）是AB的中点，则△OAB（O为坐标原点）的面积是（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{13}$
• C． $\sqrt{14}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出双曲线方程的a，b，c，可得右焦点，即为抛物线的焦点，可得抛物线的方程，联立直线方程，可得x的二次方程，运用判别式大于0以及韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式求得AB的长，由点到直线的距离公式可得O到AB的距离，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{3+1}$=2，
右焦点为（2，0），
则抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为（2，0），
即有2=$\frac{p}{2}$，解得p=4，即抛物线方程为y²=8x，
联立直线y=kx+m，可得k²x²+（2km-8）x+m²=0，
判别式△=（2km-8）²-4k²m²＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{8-2km}{{k}^{2}}$，
点M（2，2）是AB的中点，
可得$\frac{8-2km}{{k}^{2}}$=4，且2=2k+m，
解得k=2，m=-2．满足判别式大于0．
即有x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
可得弦长AB=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{15}$，
点O到直线2x-y-2=0的距离d=$\frac{|0-0-2|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
则△OAB（O为坐标原点）的面积是$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{5}}$×2$\sqrt{15}$=2$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查直线方程与抛物线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式和弦长公式，考查点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．