Question

如图4，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且∠ACB＝90°，

∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1

的中点．

（1）求证：PN//平面ABC；

（2）求证：AB1⊥A1M；

（3）求二面角C1—A B1—A1的余弦值．                                    

Answer 1

（1）证明：连结CB1，∵P是BC1的中点 ，∴CB1过点P，--1分

∵N为AB1的中点，∴PN//AC,

又∵面，面,

∴PN//平面ABC.

（2）证法一：在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴  AC＝A1C1＝

∵棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且，以点C1为

原点，以C1B1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则

，,, ,

∴,

∵

∴ A1M⊥AB1-

【证法二：连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴  AC＝A1C1＝

∵=,

∴-

，

即AC1⊥A1M.

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1，∴B1C1⊥A1M，又，故A1M⊥A B1C1，

面A B1C1， ∴ A1M⊥AB1.

【证法三：连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴  AC＝A1C1＝-

设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β

∵

∴α+β＝90°  即AC1⊥A1M.

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1，∴B1C1⊥A1M，又

故A1M⊥面A B1C1，

 面A B1C1， ∴ A1M⊥AB1.

（3）解法一：∵棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且，

以点C1为原点，以C1B1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系，

依题意得，,,,,

,

设面的一个法向量为

由得,令得.

同理可得面的一个法向量为分

故二面角的平面角的余弦值为

-【解法二：过C1作C1E⊥A1B1交A1B1于点E，过E作EF⊥AB1交AB1于F，连结C1 F，

∵平面AA1BB1⊥底面A1B1C1，∴ C1E⊥平面AA1BB1，

∴ C1E⊥AB1，∴ AB1⊥平面C1EF，∴ AB1⊥C1F，

故为二面角C1—A B1—A1的平面角，

在中，,

,,-

又故