Question

【题目】关于函数，给出下列命题：
①若函数f(x)是R上周期为3的偶函数，且满足f(1)＝1，则f(2)－f(－4)＝0；
②若函数f(x)满足f(x＋1)f(x)＝2 017，则f(x)是周期函数；
③若函数g(x)＝ 是偶函数，则f(x)＝x＋1；
④函数y＝ 的定义域为 .
其中正确的命题是 ． (写出所有正确命题的序号)

Answer 1

【答案】①②
【解析】①因为f(x＋3)＝f(x)且f(－x)＝f(x)，所以f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(－4)＝f(－1)＝f(1)＝1，故f(2)－f(－4)＝0，①正确．②因为f(x＋1)f(x)＝2 017，所以f(x＋1)＝ ，f(x＋2)＝ ＝f(x)．所以f(x)是周期为2的周期函数，②正确．③令x＜0，则－x＞0，g(－x)＝－x－1.又g(x)为偶函数，所以g(x)＝g(－x)＝－x－1.即f(x)＝－x－1，③不正确．④要使函数有意义，需满足 即0＜|2x－3|≤1，
所以1≤x≤2且x≠ ，即函数的定义域为 ，④不正确．
①利用函数的周期性和奇偶性求值判断．②利用周期函数的定义证明．③利用偶函数的定义推导．④利用函数的性质求函数的定义域．