【题目】已知函数 在
处的切线斜率为2.
(Ⅰ)求 的单调区间和极值;
(Ⅱ)若 在
上无解,求
的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵ ,
,
∴ .
∴ ,
.
令 ,解得
或
.
当 变化时,
的变化情况如下表:
∴函数 的单调递增区间为
,单调递减区间为
和
.
∴函数的极小值为 ,极大值为
;
(Ⅱ)令 .
∵ 在
上无解,
∴ 在
上恒成立.
∵ ,记
,
∵ 在
上恒成立,
∴ 在
上单调递减.
∴ .
若 ,则
,
,
∴ .
∴ 单调递减.
∴ 恒成立.
若 ,则
,存在
,使得
,
∴当 时,
,即
.
∴ 在
上单调递增.
∵ ,
∴ 在
上成立,与已知矛盾,故舍去.
综上可知,
【解析】(1)求出原函数的导函数,由函数f(x)图象在(1,f(1))处切线的斜率为2,得f′(1)=1,由此式可求a的值;再利用导函数小于0和导函数大于0求解函数的单调区间,然后根据极值的定义进行判定极值即可.
(2)设出新的函数,直接利用导函数小于0和导函数大于0求解函数的单调区间,然后根据恒成立的条件进行判定即可.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】关于函数,给出下列命题:
①若函数f(x)是R上周期为3的偶函数,且满足f(1)=1,则f(2)-f(-4)=0;
②若函数f(x)满足f(x+1)f(x)=2 017,则f(x)是周期函数;
③若函数g(x)= 是偶函数,则f(x)=x+1;
④函数y= 的定义域为
.
其中正确的命题是 . (写出所有正确命题的序号)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)= x2-mln x,g(x)=x2-(m+1)x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当m≥0时,讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列命题正确的是( )
A.存在 ,使得
的否定是:不存在
,使得
B.对任意 ,均有
的否定是:存在
,使得
C.若 ,则
或
的否命题是:若
,则
或
D.若 为假命题,则命题
与
必一真一假
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在空间中, 是两条不同的直线,
是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是( )
A.若 ,
,则
B.若 ,
,
,则
C.若 ,
,则
D.若 ,
则
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知定义在 上的函数
满足
,且
是偶函数,当
时,
.令
,若在区间
内,函数
有4个不相等实根,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数 的最小正周期为
,将函数
的图象向左平移
个单位长度,再向下平移
个单位长度,得到函数
的图象.
(Ⅰ)求函数 的单调递增区间;
(Ⅱ)在锐角 中,角
的对边分别为
.若
,
,求
面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n>1000的最小偶数n,那么在 和
两个空白框中,可以分别填入( )
A.A>1000和n=n+1
B.A>1000和n=n+2
C.A≤1000和n=n+1
D.A≤1000和n=n+2
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com