Question

1．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的渐近线上的一点A到其右焦点F的距离等于2，抛物线y²=2px（p＞0）过点A，则该抛物线的方程为（　　）

• A． y²=2x
• B． y²=x
• C． y²=$\frac{1}{2}$x
• D． y²=$\frac{1}{4}$x

Answer 1

分析 求出双曲$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的渐近线方程，F点的坐标，利用|AF|=2，求出A的坐标，代入y²=2px，求出p，即可求出抛物线的方程．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
其中a=$\sqrt{3}$，b=1，则c=2，F点坐标为（2，0），
设A点横坐标为x，（x≠0），则y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
由|AF|=2得$\sqrt{（x-2）^{2}+（±\frac{\sqrt{3}}{3}x）^{2}}$=2，
即$\frac{4}{3}$x²-4x=0，得x=3，
∴y=±$\sqrt{3}$，代入y²=2px得3=6p，
即p=$\frac{1}{2}$，所以，y²=x
故选：B．

点评 本题考查抛物线方程，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，根据两点间的距离公式求出A的坐标是关键．