Question

19．已知P为锐角三角形ABCD的AB边上一点，A=60°，AC=4，则|$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PC}$|的最小值为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{7}$
• C． 6
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据向量的夹角运算和向量的数量积和二次函数的性质即可求出．

解答 解：$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PA}$+3（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AC}$）=4$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{AC}$，
∴（4$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{AC}$）²=16|$\overrightarrow{PA}$|²+9|$\overrightarrow{AC}$|²+24|$\overrightarrow{PA}$||$\overrightarrow{AC}$|cos120°
=16|$\overrightarrow{PA}$|²-48|$\overrightarrow{PA}$|+144
=16（|$\overrightarrow{PA}$|-$\frac{3}{2}$）²+108
当|$\overrightarrow{PA}$|=$\frac{3}{2}$时，（4$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{AC}$）²的最小值为108，
∴|$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PC}$|的最小值为6$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考察了平面向量及应用，二次函数的性质，考察了解三角形的应用，属于中档题．