Question

4．设函数f（x）=sin（2x+α）+$\sqrt{3}$cos（2x+α）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），且图象关于直线x=$\frac{π}{24}$对称，则（　　）

• A． 函数f（x）的周期为π，且在区间[$\frac{π}{3}$，π]内单调递增
• B． 函数f（x）的周期为π，且在区间[$\frac{2π}{3}$，π]内单调递增
• C． 函数f（x）的周期为2π，且在区间[$\frac{2π}{3}$，π]内单调递增
• D． 函数f（x）的周期为$\frac{π}{2}$，且在区间[$\frac{π}{2}$，π]内单调递增

Answer 1

分析 根据题意，化简f（x），求出函数f（x）的解析式，再判断符合题意的选项即可．

解答 解：∵f（x）=sin（2x+α）+$\sqrt{3}$cos（2x+α）
=2[$\frac{1}{2}$sin（2x+α）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+α）]
=2sin（2x+α+$\frac{π}{3}$），
且0＜α＜$\frac{π}{2}$，其函数图象关于直线x=$\frac{π}{24}$对称，
∴2×$\frac{π}{24}$+α+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得α=$\frac{π}{12}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{5π}{12}$），
其最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
当x∈[$\frac{2π}{3}$，π]时，2x+$\frac{5π}{12}$∈[$\frac{7π}{4}$，$\frac{29π}{12}$]，
∴f（x）在区间[$\frac{2π}{3}$，π]上是单调增函数，
B选项满足题意．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，是基础题目．