Question

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=3且S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1+1，则{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{4•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 当n≥2时，作差可得a_n=$\frac{1}{2}$（a_n+1-a_n），从而可得a_n+1=3a_n；再讨论求第1，2项，从而求得．

解答 解：当n≥2时，S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n+1，S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1+1，
作差可得，
a_n=$\frac{1}{2}$（a_n+1-a_n），
故a_n+1=3a_n；
当n=1时，3=$\frac{1}{2}$a₂+1，
解得，a₂=4；
故数列{a_n}从第2项起成等比数列，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{4•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{4•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列的性质的判断及分类讨论的思想方法及作差法的应用．