Question

1．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A₁，A₂，过F做直线A₁A₂的垂线与双曲线交于B，C两点，若A₁B⊥A₂C，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意可得F（c，0），A₁（-a，0），A₂（a，0），令x=c，代入双曲线的方程，求得B，C的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，结合a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可设F（c，0），A₁（-a，0），A₂（a，0），
令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可设B（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由A₁B⊥A₂C，可得k${\;}_{{A}_{1}B}$•k${\;}_{{A}_{2}C}$=-1，
即有$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c+a}$•$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{a-c}$=-1，
即为b⁴=a²（c²-a²）=a²b²，
则a=b，c=$\sqrt{2}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的方程和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算求解能力，属于中档题．