Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，常数λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a₁＞0，λ=2，求证：

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

＜4．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：综合题,函数思想,等差数列与等比数列

分析：（1）运用方程结合通项公式求解，（2）把数列问题转化为不等式问题求解，注意放缩法的运用．

解答： 解：（Ⅰ）取n=1得λ

a

2 1

=2a1，
 若a₁=0则S_n=0当n＞2时，a_n=0，
 若a₁≠0则a1=

2

λ

，所以n＞2时，
 由2an=

2

λ

+Sn，2an-1=

2

λ

+Sn-1相减得a_n=2a_n-1，
 所以数列{a_n}是等比数列，于是an=

2n

λ

，
 综上可知：若a₁=0时，a_n=0，若a₁≠0，则an=

2n

λ

（Ⅱ）a₁＞0，λ=2时，an=

2n

λ

，
 设T_n=

1

a1

+

2

a2

+

3

a3

+…+

n

an

即T_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

 所以，T_n=2T_n-T_n=2+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2^

=4-

n+2

2n-1

＜4

点评：本题考查了函数，不等式，数列知识的综合运用能力．