Question

已知异面直线a，b所成的角为θ=60°，P为空间一点，则
（1）过点P与直线a，b所成的角为45°的直线有几条？
（2）过点P与直线a，b所成的角为60°的直线有几条？
（3）过点P与直线a，b所成的角为70°的直线有几条？

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：根据异面直线a与b所成的角为60°，P为空间一点，过P分别作直线a，b的平行线，得到∠APB=60°，过P点作直线c，d分别是角∠APB的平分线和面APB的垂线，这时c与a，b所成角为30°，d与a，b所成角为90°，然后直线从c转到直线d的过程中一定经过30°、50°、60°、70°的角，可求出直线的条数．过大小为60°的二面角外一点P作与它的两个面都成60°的直线，可转化为过点P与两个平面的垂所成的角为30°，直线的条数．

解答： 解：把异面直线a，b平移到相交，使交点为P，
此时∠APB=60°，过P点作直线c平分∠APB，这时c与a，b所成角为30°，一条
过P点作直线d垂直a和b，这时d与a，b所成角为90°
直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过30°到90°的角，
因为两边，所以
（1）过点P与直线A，B所成的角为45°的直线有有2条．
（2）过点P与直线A，B所成的角为60°的直线有3条；
（3）过点P与直线A，B所成的角为70°的直线有4条；

点评：本题考查了鱼米之乡所成的角，体现了平移法异面直线所成的角．