Question

2．已知将函数$g（x）=sin（x+\frac{π}{3}+φ）（φ∈R）$图象上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$后所得的图象向右平移$\frac{π}{6}$与f（x）图象重合，若$f（x）≤|f（\frac{π}{6}）|$对x∈R恒成立，且$f（\frac{π}{2}）＞f（π）$，则f（x）的单调递增区间是（　　）

• A． $[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$
• B． $[kπ，kπ+\frac{π}{2}]（k∈Z）$
• C． $[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]（k∈Z）$
• D． $[kπ-\frac{π}{2}，kπ]（k∈Z）$

Answer 1

分析 由已知利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求f（x）的解析式，由若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，我们易得f（$\frac{π}{6}$）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），易求出满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．

解答 解：∵将函数$g（x）=sin（x+\frac{π}{3}+φ）（φ∈R）$图象上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$后，所得的图象解析式为：y=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ），
向右平移$\frac{π}{6}$，可得函数解析式为：y=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$+φ]=sin（2x+φ），
∴由题意f（x）=sin（2x+φ），
∵$f（x）≤|f（\frac{π}{6}）|$，对x∈R恒成立，
∴f（$\frac{π}{6}$）等于函数的最大值或最小值，即2×$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴则φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
又f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），即sinφ＜0，
令k=-1，此时φ=-$\frac{5π}{6}$，满足条件．
令2x-$\frac{5π}{6}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z
解得x∈[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了数形结合思想的应用，其中根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值，是解答本题的关键，属于中档题．