Question

12．记f（x）=|log₂（ax）|在x∈[$\frac{1}{2}$，8]时的最大值为g（a），则g（a）的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 对a讨论，当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，当$\frac{1}{2}$≤a＜1时，当1≤a＜$\sqrt{2}$时，当a≥$\sqrt{2}$时，通过图象，比较f（$\frac{1}{2}$）和f（2）的大小，求得M（a）的范围，即可得到最小值

解答 解：0＜a＜1的图象如图1
0＜a＜$\frac{1}{2}$时：f（$\frac{1}{2}$）=|log₂（$\frac{1}{2}$a）|=log₂$\frac{2}{a}$，
f（2）=log₂$\frac{1}{2a}$，f（$\frac{1}{2}$）＞f（2），
即有g（a）=log₂$\frac{2}{a}$∈（2，+∞），
当$\frac{1}{2}$≤a＜1时，f（$\frac{1}{2}$）=|log₂（$\frac{1}{2}$a）|
=log₂$\frac{2}{a}$，f（2）=log₂（2a），f（$\frac{1}{2}$）＞f（2），
即有g（a）=log₂$\frac{2}{a}$∈（1，2]；

a≥1的图象如图2
当1≤a＜$\sqrt{2}$时，f（$\frac{1}{2}$）=|log₂（$\frac{1}{2}$a）|
=log₂$\frac{2}{a}$，f（2）=log₂（2a），f（$\frac{1}{2}$）＞f（2），
即有g（a）=log₂$\frac{2}{a}$∈（$\frac{1}{2}$，1]；
当a≥$\sqrt{2}$时，f（$\frac{1}{2}$）=|log₂（$\frac{1}{2}$a）|
=log₂$\frac{2}{a}$，f（2）=log₂（2a），f（$\frac{1}{2}$）＜f（2），
即有g（a）=log₂（2a）∈[$\frac{3}{2}$，+∞）．
综上可得g（a）的范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．
则M（a）的最小值为$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查对数函数的图象和性质，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．