Question

9．已知双曲线C的渐近线方程为y=±x，一条准线方程为$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过点M（-2，0）的直线l交双曲线C于A、B两点，并且三角形OAB的面积为2$\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（3）在（2）中是否存在这样的直线l，使OA⊥OB？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出方程求出，a、b、c，即可得到双曲线方程．
（2）设出直线方程，与双曲线联立，利用三角形的面积求解直线方程即可．
（3）利用（2）通过直线垂直，斜率乘积为：-1．列出方程求解即可．

解答 解：（1）双曲线C的渐近线方程为y=±x，一条准线方程为$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
可得a=b，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，解得，a=b=1，c=$\sqrt{2}$．
双曲线的方程为：x²-y²=1．
（2）设直线方程为：x=my-2，
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
可得（m²-1）y²-4my+3=0，可得：y₁+y₂=$\frac{4m}{{m}^{2}-1}$，y₁y₂=$\frac{3}{{m}^{2}-1}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{\frac{16{m}^{2}-12{m}^{2}+12}{（{m}^{2}-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{12+4{m}^{2}}}{|{m}^{2}-1|}$，
三角形OAB的面积为2$\sqrt{3}$，可得：$\frac{1}{2}×2×$$\frac{\sqrt{12+4{m}^{2}}}{|{m}^{2}-1|}$=$2\sqrt{3}$，解得m=±$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
直线l的方程：x=±$\frac{\sqrt{21}}{3}$y-2．
（3）由（2）可知y₁y₂=$\frac{3}{{m}^{2}-1}$，
x₁x₂=（my₁-2）（my₂-2）=m²y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4=$\frac{3{m}^{2}}{{m}^{2}-1}-\frac{8{m}^{2}}{{m}^{2}-1}+4$=$\frac{-{m}^{2}-4}{{m}^{2}-1}$，
如果OA⊥OB，可得：$\frac{\frac{3}{{m}^{2}-1}}{\frac{-{m}^{2}-4}{{m}^{2}-1}}=-1$，
解得：m²=-1，
直线不存在．

点评 本题考查直线椭圆双曲线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．