Question

4．设a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1．
（Ⅰ）求证：2ab+bc+ca+$\frac{{c}^{2}}{2}$$≤\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）求证：$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}+{a}^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}+{b}^{2}}{a}≥2$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作差法化简1-2（2ab+bc+ca+$\frac{{c}^{2}}{2}$）=（a+b+c）²-（4ab+2bc+2ca+c²），从而证明；
（Ⅱ）易知$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a，$\frac{{c}^{2}}{b}$+b≥2c，$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2b，$\frac{{a}^{2}}{c}$+c≥2a，$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，$\frac{{b}^{2}}{a}$+a≥2b；从而证明．

解答 证明：（Ⅰ）∵1-2（2ab+bc+ca+$\frac{{c}^{2}}{2}$）
=（a+b+c）²-（4ab+2bc+2ca+c²）
=a²+b²-2ab=（a-b）²≥0，
∴2（2ab+bc+ca+$\frac{{c}^{2}}{2}$）≤1，
∴2ab+bc+ca+$\frac{{c}^{2}}{2}$$≤\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）∵$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a，$\frac{{c}^{2}}{b}$+b≥2c，$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2b，$\frac{{a}^{2}}{c}$+c≥2a，$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，$\frac{{b}^{2}}{a}$+a≥2b；
∴$\frac{{a}^{2}}{b}$+b+$\frac{{c}^{2}}{b}$+b+$\frac{{b}^{2}}{c}$+c+$\frac{{a}^{2}}{c}$+c+$\frac{{c}^{2}}{a}$+a+$\frac{{b}^{2}}{a}$+a≥4（a+b+c），
即$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{c}$+2（a+b+c）≥4（a+b+c），
故$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{c}$≥2．

点评 本题考查不等式的证明方法的应用，应用了作差法．