Question

2．已知sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，求sin（$\frac{19}{6}$π+x）+sin²（$\frac{π}{3}$-x）的值为$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 由已知中sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系公式，可得sin（$\frac{19}{6}$π+x）=-$\frac{2}{3}$，sin²（$\frac{π}{3}$-x）=1-sin²（x+$\frac{π}{6}$），代入可得答案．

解答 解：∵sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，
∴sin（$\frac{19}{6}$π+x）=sin[π+（x+$\frac{π}{6}$）]=-sin（x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{2}{3}$，
sin²（$\frac{π}{3}$-x）=sin²[$\frac{π}{2}$-（x+$\frac{π}{6}$）]=cos²（x+$\frac{π}{6}$）=1-sin²（x+$\frac{π}{6}$）=1-$\frac{4}{9}$=$\frac{5}{9}$，
∴sin（$\frac{19}{6}$π+x）+sin²（$\frac{π}{3}$-x）=-$\frac{2}{3}$+$\frac{5}{9}$=$\frac{1}{9}$，
故答案为：$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查的知识是诱导公式和同角三角函数的基本关系公式，其中分析出已知角和未知角的关系，进而选择恰当的公式，是解答的关键．