Question

19．数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃+…a_n=2n-a_n（n∈N⁺）．数列{b_n}满足b_n=$\frac{2-n}{2}（{{a_n}-2}）$，则{b_n}中的最大项的值是$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得，数列{a_n-2}构成以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，求出其通项公式后代入b_n=$\frac{2-n}{2}（{{a_n}-2}）$，再由数列的函数特性求得{b_n}中的最大项的值．

解答 解：由a₁+a₂+a₃+…a_n=2n-a_n，得S_n=2n-a_n，
取n=1，求得a₁=1；
由S_n=2n-a_n，得S_n-1=2（n-1）-a_n-1（n≥2），
两式作差得a_n=2-a_n+a_n-1，即${a}_{n}-2=\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-2）$（n≥2），
又a₁-2=-1≠0，
∴数列{a_n-2}构成以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
则${a}_{n}-2=-1×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
则b_n=$\frac{2-n}{2}（{{a_n}-2}）$=$\frac{2-n}{2}•（-\frac{1}{{2}^{n-1}}）=\frac{n-2}{{2}^{n}}$，
当n=1时，${b}_{1}=-\frac{1}{2}$，当n=2时，b₂=0，当n=3时，${b}_{3}=\frac{1}{8}$，
而当n≥3时，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{\frac{n-1}{{2}^{n+1}}}{\frac{n-2}{{2}^{n}}}=\frac{n-1}{2（n-2）}≤1$，
∴{b_n}中的最大项的值是$\frac{1}{8}$．
故答案为：$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，考查数列的函数特性，是中档题．