Question

7．二项式${（ax-\frac{{\sqrt{3}}}{6}）^3}$（a＞0）的展开式的第二项的系数为-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则$\int_{-2}^a{x^2}$dx的值为（　　）

• A． 3或$\frac{7}{3}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． 3
• D． 3或$-\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 二项式${（ax-\frac{{\sqrt{3}}}{6}）^3}$（a＞0）的展开式的通项公式T₂=${∁}_{3}^{1}（ax）^{2}（-\frac{\sqrt{3}}{6}）$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$a²x²．由于第二项的系数为-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得$-\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a²=1，解得a，再利用微积分基本定理即可得出．

解答 解：二项式${（ax-\frac{{\sqrt{3}}}{6}）^3}$（a＞0）的展开式的通项公式T₂=${∁}_{3}^{1}（ax）^{2}（-\frac{\sqrt{3}}{6}）$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$a²x²．
∵第二项的系数为-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a²=1，a＞0，解得a=1．
当a=1时，则$\int_{-2}^a{x^2}$dx=${∫}_{-2}^{1}{x}^{2}dx$=$\frac{{x}^{3}}{3}{|}_{-2}^{1}$=3．
故选：C．

点评 本题考查了二项式定理与微积分基本定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．