Question

16．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的$\frac{1}{3}$．”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的$\frac{1}{4}$，证明时连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．

解答 解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，
可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的$\frac{1}{4}$．
证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．
把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×$\frac{1}{3}$S•r=$\frac{1}{3}$•S•h，r=$\frac{1}{4}$h．
（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）
故选B．

点评 主要考查知识点：类比推理，简单几何体和球，考查计算能力，是基础题．