Question

1．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为
（　　）

• A． 9π
• B． 18π
• C． 36π
• D． 144π

Answer 1

分析 由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2，4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形，对角线相交于点O₁．则球心O满足OO₁⊥侧面ABB₁A₁．设OO₁=x，则x²+$（2\sqrt{2}）^{2}$=（2-x）²+$（2\sqrt{2}）^{2}$，解得x．可得该多面体外接球的半径r．

解答 解：由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2，4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形，对角线相交于点O₁．
则球心O满足OO₁⊥侧面ABB₁A₁．
设OO₁=x，则x²+$（2\sqrt{2}）^{2}$=（2-x）²+$（2\sqrt{2}）^{2}$，解得x=1．
∴该多面体外接球的半径r=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=3．
表面积为4π×3²=36π．
故选：C．

点评 本题考查了直三棱柱的三视图、勾股定理、空间线面位置关系、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．