Question

8．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足$\frac{1}{{C{M^2}}}+\frac{1}{{C{N^2}}}=1$，若$\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{AN}$，则x+y的最小值为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 【解法一】由题意建立平面直角坐标系，设点M（3，a），N（b，4），0＜a＜4，0＜b＜3；
求得b=$\frac{3-3x}{y}$，a=$\frac{4-4y}{x}$，从而可得$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=（x+y-1）²，
再设x+y=m，则x=m-y；利用判别式即可求出m的最小值；
【解法二】运用三角换元，根据方程组求出x，y；令$\frac{1}{4-a}$=sina，$\frac{1}{3-b}$=cosa，
计算x+y是一个关于sina，cosa的函数，比较容易看出它的最小值．

解答 解：【解法一】由题意建立平面直角坐标系，如图所示；
设点M（3，a），N（b，4），且0＜a＜4，0＜b＜3；
∵$\overrightarrow{AC}$=（3，4），$\overrightarrow{AM}$=（3，a），$\overrightarrow{AN}$=（b，4）；
又∵$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AM}$+y$\overrightarrow{AN}$，（x+y≥1）
∴（3，4）=x（3，a）+y（b，4），
即$\left\{\begin{array}{l}{3x+yb=3}\\{xa+4y=4}\end{array}\right.$，
∴b=$\frac{3-3x}{y}$，a=$\frac{4-4y}{x}$，
∴$\frac{1}{{CM}^{2}}$+$\frac{1}{{CN}^{2}}$=$\frac{1}{{（4-a）}^{2}}$+$\frac{1}{{（3-b）}^{2}}$=$\frac{1}{16}$•$\frac{{x}^{2}}{{（x+y-1）}^{2}}$+$\frac{1}{9}$•$\frac{{y}^{2}}{{（x+y-1）}^{2}}$=1，
即$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=（x+y-1）²，
设x+y=m，则x=m-y；
则$\frac{{（m-y）}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=（m-1）²，
即25y²-18my+9m²-144（m-1）²=0，
故△=（18m）²-4×25×（9m²-144（m-1）²）≥0，
即24m²-50m+25≥0，
解得，m≥$\frac{5}{4}$或m≤$\frac{5}{6}$（不合题意，舍去）；
又$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{AN}$与$\overrightarrow{AM}$的夹角之内，所以x≥0，y≥0，对应方程有正根；
又m≥$\frac{5}{4}$，∴y₁+y₂=$\frac{18m}{25}$＞0，满足题意，
∴x+y的最小值$\frac{5}{4}$．
【解二】由题意建立平面直角坐标系，如图所示；
设点M（3，a），N（b，4），且0＜a＜4，0＜b＜3；
∵$\overrightarrow{AC}$=（3，4），$\overrightarrow{AM}$=（3，a），$\overrightarrow{AN}$=（b，4）；
又∵$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AM}$+y$\overrightarrow{AN}$，（x+y≥1）
∴（3，4）=x（3，a）+y（b，4），
即$\left\{\begin{array}{l}{3x+yb=3}\\{xa+4y=4}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{4b-12}{ab-12}$，y=$\frac{3a-12}{ab-12}$；
最好运用三角换元来做比较好，根据方程组求出x，y（而不是a，b），然后令4-a 分之一为sina，3-b 分之一为cosa，带进去计算出x+y是一个关于sina，cosa的函数，比较容易看出他的最小值
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了数形结合的思想与转化思想的应用问题，是较难的题目．