Question

16．已知直线$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$=0经过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点和上顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（0，-2）的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，若∠AOB为钝角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由直线$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$=0，分别令y=0，x=0，可得椭圆右焦点（1，0），上顶点（0，$\sqrt{3}$）．又a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，即可得出．
（2）由题意可知：直线l的斜率垂直，可设直线l的方程为：y=kx-2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（4k²+3）x²-16kx+4=0，△＞0，可得k²$＞\frac{1}{4}$．由∠AOB为钝角，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜0，利用数量积运算性质、根与系数的关系即可得出．

解答 解：（1）由直线$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$=0，分别令y=0，x=0，可得椭圆右焦点（1，0），上顶点（0，$\sqrt{3}$）．
∴c=1，b=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2．
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）由题意可知：直线l的斜率垂直，可设直线l的方程为：y=kx-2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为（4k²+3）x²-16kx+4=0，
∵△＞0，∴k²$＞\frac{1}{4}$．
又x₁+x₂=$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$．
∵∠AOB为钝角，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜0，
∴x₁x₂+y₁y₂＜0，x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）＜0，化为：（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4＜0，
∴（1+k²）×$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$-2k×$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$+4＜0，化为k²$＞\frac{4}{3}$．解得$k＜-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，或k$＞\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴直线l的斜率k的取值范围是$（-∞，\frac{-2\sqrt{3}}{3}）$∪$（\frac{2\sqrt{3}}{3}，+∞）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量数量积的运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．