Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）设函数，函数有且仅有一个零点．

（i）求的值；

（ii）若时， 恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （2）（ⅰ）a=1（ⅱ）

【解析】试题分析：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2=（x2﹣2x）lnx﹣x2+2，求出f′（x），则k=f′（1），代入直线方程的点斜式可得切线的方程．

（2）①令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）lnx+ax2+2=x+2，即，构造函数h（x）=，确定h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求a的值；

②当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）lnx+x2﹣x，若，g（x）≥m，只需g（x）min≥m．

试题解析：

（1）当时， , ，

∴ ，又

∴在处的切线方程.

（2）（ⅰ）令，则

∴ 令， 则.

令,则 ，

，∴在上是减函数 又，

∴当时， ，当时， ，

∴在上单调递增，在上单调递减，

，∴当函数有且只有一个零点时， .

（ⅱ）当， ，若时， 恒成立，

只需 .令得或，

， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

又∵ ，

，即.

∴， .