Question

8．已知直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ-2cosθ
（Ⅰ）求曲线C的普通方程．
（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析 （I）把极坐标方程根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，化为直角坐标方程．
（II）由条件求得直线方程：x-y+2=0，由圆心在直线上，可得直线l被曲线C截得的弦长为直径，从而求得结果．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ-2cosθ，可得ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ
所以曲线C的直角坐标方程为x²+²=2y-2x
标准方程为（x+1）²+（y-1）²=2

（Ⅱ）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
化成普通方程为y=x+2．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2y-2x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$．
所以直线l与曲线C相交于A（0，2），B（-2，0）两点
则直线l被曲线C截得的弦长：|AB|=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．