Question

16．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=2，CC₁=$\sqrt{2}$，则异面直线AB₁和BC₁所成角的余弦值为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{\sqrt{42}}{7}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 连接B₁C交BC₁于E，连接DE，利用四边形BCC₁B₁是平行四边形及其三角形的中位线定理证明DE∥AB₁，可得∠DEB或其补角为异面直线AB₁与BC₁所成的角，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：如图所示
连接B₁C交BC₁于E，连接DE，
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，∴B₁E=EC．
又AD=DC．
∴DE∥AB₁，
∴∠DEB或其补角为异面直线AB₁与BC₁所成的角，
在△DEB中，DE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，BD=$\sqrt{3}$，BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴cos∠DEB=$\frac{\frac{6}{4}+\frac{6}{4}-3}{2•\frac{6}{4}•\frac{6}{4}}$=0，
∴异面直线AB₁和BC₁所成角的余弦值为0．
故选：A．

点评 本题考查了正三棱柱的性质、平行四边形的性质、三角形的中位线定理异面直线所成的角、余弦定理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．