Question

7．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，沿BD折成直二面角A-BD-C，过点A作PA⊥平面ABD，连接AC、PC、PD．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BD的中点O，连接CO，则CO⊥BD，CO⊥平面ABD，
由AP⊥平面ABD，得CO∥AP，即可得PA∥平面BCD．
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，设BD=2，则A（0，$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），C（0，0，$\sqrt{3}$）
求出平面ABC的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，即可利用向量法求解

解答 解：（Ⅰ）证明：由已知可得△ABC，△BCD均为等边三角形，
取BD的中点O，连接CO，则CO⊥BD，
∵平面BCD⊥平面ABD，平面BCD∩平面ADB=DB，∴CO⊥平面ABD，
而AP⊥平面ABD，∴CO∥AP，
又∵CO?平面BCD，PA?平面BCD，∴PA∥平面BCD．（5分）
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，设BD=2，则A（0，$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），C（0，0，$\sqrt{3}$）
∴$\overrightarrow{BA}=（-1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{BC}=（-1，0，\sqrt{3}）$
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BA}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$令x=$\sqrt{3}$得y=z=1∴$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，1，1）$
又平面BCD的法向量$\overrightarrow{n}=（0，1，0）$
∴cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即二面角A-BC-D的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$（12分）

点评 本题考查了空间线面平行的判定，向量法求二面角，属于中档题．