Question

17．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PC，BC=4，AC=2．M为BC的中点，N为AC上一点，且MN∥平面PAB，MN=$\sqrt{3}$．求证：
（1）直线AB∥平面PMN；
（2）平面ABC⊥平面PMN．

Answer 1

分析 （1）由线面平行的性质可得AB∥MN，故而AB∥平面PMN；
（2）由勾股定理的逆定理得出AB⊥AC，故而MN⊥AC，由M为BC中点可得N为AC中点，于是PN⊥AC，从而AC⊥平面PMN，得出平面ABC⊥平面PMN．

解答 证明：（1）∵MN∥平面PAB，MN?平面ABC，平面ABC∩平面PAB=AB，
∴MN∥AB，又MN?平面PMN，AB?平面PMN，
∴AB∥平面PMN．
（2）∵AB∥MN，M是BC的中点，∴N是AC的中点．
∴AB=2MN=2$\sqrt{3}$．又BC=4，AC=2．
∴AB²+AC²=BC²，即AB⊥AC．
∴MN⊥AC，
又N是AC的中点，PA=PC，
∴PN⊥AC，
∵MN?平面PMN，PN?平面PMN，MN∩PN=N，
∴AC⊥平面PMN．又AC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面PMN．

点评 本题考查了线面平行的性质与判定，面面垂直的判定，属于中档题．