Question

已知数列的前项和为，，，，其中为常数．

（1）证明：；

（2）当为何值时，数列为等差数列？并说明理由．

 

Answer 1

（1）详见解析；（2），理由详见解析．

【解析】

试题分析：（1）欲证，由条件，考虑到，因此可以利用，，两式相减，即可消去得到，再由，即可得到；（2）由，，可得，再由（1）可知，故若数列为等差数列，则有，解得，接下来只需证明当时，数列确实为等差数列，结合（1）首先对的奇偶性进行分类讨论：由（1）可得是首项为，公差为的等差数列，，而是首项为，公差为的等差数列，，因此，，故当时，数列是以为首项，为公差的等差数列．

试题解析：（1）由题设，，， 2分

两式相减，得， 3分

∵，∴； 4分

（2）由题设，，，可得， 5分

由（1）知，，若数列为等差数列，则，解得， 6分

故，由此可得是首项为，公差为的等差数列，， 7分

是首项为，公差为的等差数列，， 8分

∴，， 10分

因此当时，数列是以为首项，为公差的等差数列． 12分

考点：1．数列的通项公式；2．等差数列的证明．