Question

7．已知函数f（x）=-8sinx+tanx（x∈（$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）），则f（x）为增函数的概率为（　　）

• A． $\frac{2}{π}$
• B． $\frac{1}{π}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 利用函数的导数求得f（x）的单调递增区间，f（x）为增函数的概率即为单调增区间的长度比上总长度．

解答 解：f（x）=-8sinx+tanx，
f′（x）=-8cosx+$\frac{1}{co{s}^{2}x}$=$\frac{1-8co{s}^{3}x}{co{s}^{2}x}$，
f（x）为增函数，f′（x）=$\frac{1-8co{s}^{3}x}{co{s}^{2}x}$＞0，
∴cosx＜$\frac{1}{2}$，又x∈（$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴x∈（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$）∪（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
f（x）为增函数的概率P=$\frac{\frac{π}{6}×2}{π}$=$\frac{1}{3}$．
故答案选：D．

点评 本题考查古典概型，利用导数求出函数的单调区间，并求出其长度，并求出其与总长度的比值，属于中档题．