Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），P是椭圆C上一点，且|PF₂|=|F₁F₂|，直线PF₁与圆x²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$相切，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 由题意作椭圆的图象，从而结合图象可知|OS|=$\frac{c}{2}$，|F₂T|=c，|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{3}$c+2c=2a，从而求离心率．

解答 解：由题意作椭圆的图象如下，
∵直线PF₁与圆x²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$相切，
∴|OS|=$\frac{c}{2}$，
∴|F₂T|=c，
∴|F₁T|=$\sqrt{3}$c，
∴|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{3}$c+2c=2a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{2+2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故选B．

点评 本题考查了椭圆的方程与数形结合的思想方法的应用及转化思想的应用．