Question

17．已知单位向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a+3\overrightarrow b}|=\sqrt{13}$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 可知$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，这样对$|\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$两边平方即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，进而求出cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，从而得出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：$（\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}）^{2}$
=${\overrightarrow{a}}^{2}+6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+9{\overrightarrow{b}}^{2}$
=$1+6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+9$
=13；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
故选C．

点评 考查单位向量的概念，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．