Question

【题目】已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosA=ccosB+bcosC．
（1）求cosA及a的值；
（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2acosA=ccosB+bcosC，

由正弦定理得：2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC

2sinAcosA=sin（B+C）=sinA，

又∵0＜A＜πsinA≠0，

∴2cosA=1cosA= ．

∵A∈（0，π），

∴A= ．

∴由cosA= sinA= ，

由于顶点在单位圆上的△ABC中，2R=2，利用正弦定理可得： ．

可得：a=2sinA= ．

（2）解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosAbc=b2+c2﹣a2=4﹣3=1．

∴S△ABC= bcsinA= = ．

【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinAcosA=sinA，又0＜A＜π，即可求得cosA的值，进而由同角三角函数基本关系式可求sinA的值，由于顶点在单位圆上的△ABC中，利用正弦定理可求a．（2）利用余弦定理可得bc的值，利用三角形面积公式即可得解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．