【题目】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象.
(Ⅰ)写出函数的解析式;
(Ⅱ)若对任意
,
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)求实数和正整数
,使得
在
上恰有
个零点.
【答案】(1)(2)
(3)见解析
【解析】试题分析:(1)根据图像变换得函数的解析式;(2)先求
在
值域,再转化研究对应二次不等式
在
恒成立,结合二次函数图像可得
,解不等式可得实数
的取值范围;(3)转化研究对应函数图像在一个周期上的交点,再根据周期性确定实数
和正整数
,
试题解析:解:(Ⅰ) ;
(Ⅱ)设
则
,
可化为
,
设,
,则
的图象是开口向上的抛物线一段,
当且仅当
,即
,
所以的取值范围是
. 注:该小题也可采用分离参数求解.
(Ⅲ)问题可转化为研究直线与曲线
的交点情况.
在
上的草图为:
当或
时,直线
与曲线
没有交点;
当或
时,直线
与曲线
上有1个交点,由函数
的周期性可知,此时
;
当时,直线
与曲线
上有2个交点,由函数
的周期性可知,直线直线
与曲线
上总有偶数个交点;
当时,直线
与曲线
上有3个交点,由函数
的周期性及图象可知,此时
.
综上所述,当,
或
,
,或
时,
在
上恰有
个零点.
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【题目】给出下列命题:
①函数f(x)=loga(2x﹣1)﹣1的图象过定点(1,0);
②已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x(x+1),则f(x)的解析式为f(x)=x2﹣|x|;
③若 ,则a的取值范围是
;
其中所有正确命题的序号是
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【题目】放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0 ,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是﹣10In2(太贝克/年),则M(60)=( )
A.5太贝克
B.75In2太贝克
C.150In2太贝克
D.150太贝克
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【题目】已知函数f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a≥0)
(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;
(2)求y=f(x)在区间(0,2]上的最大值.
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【题目】设f(x)=x3+ax2+bx+1的导函数f′(x)满足f′(x)=2a,f′(2)=﹣b,
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)设g(x)=f′(x)ex , 求函数g(x)的单调区间.
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【题目】设f(x)=lg ,g(x)=ex+
,则 ( )
A.f(x)与g(x)都是奇函数
B.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数
C.f(x)与g(x)都是偶函数
D.f(x)是偶函数,g(x)是奇函数
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【题目】已知是椭圆
的左、右焦点,椭圆
的离心率为
,过原点
的直线交椭圆于
两点,若四边形
的面积最大值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆
交于
且
,求证:原点
到直线
的距离为定值.
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【题目】欧巴老师布置给时镇同学这样一份数学作业:在同一个直角坐标系中画出四个对数函数的图象,使它们的底数分别为 和
.时镇同学为了和暮烟同学出去玩,问大英同学借了作业本很快就抄好了,详见如图.第二天,欧巴老师当堂质问时镇同学:“你画的四条曲线中,哪条是底数为e的对数函数图象?”时镇同学无言以对,憋得满脸通红,眼看时镇同学就要被欧巴老师训斥一番,聪明睿智的你能不能帮他一把,回答这个问题呢?曲线才是底数为e的对数函数的图象.
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