Question

下列命题中真命题的个数是（　　）
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有

AB

+

BC

+

CD

+

DA

=

0

；
②在四面体ABCD中，若

AB

•

CD

=0，

AC

•

BD

=0，则

AD

•

BC

=0；
③在四面体ABCD中点，且满足

AB

•

AC

=0，

AC

•

AD

=0，

AB

•

AD

=0．则△BDC是锐角三角形
④对空间任意点O与不共线的三点A，B，C，若

OP

=x

OA

+y

OA

+z

OC

（其中x，y，z∈R且x+y+z=1），则P，A，B，C四点共面．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：平面向量及应用

分析：①根据向量的加法法则进行判断；
②根据向量垂直和向量数量积之间的关系进行判断即可；
③根据数量积的定义进行判断即可．
④根据空间四点共面的等价条件进行判断．

解答： 解：①根据向量的加法法则可知

AB

+

BC

+

CD

+

DA

=

0

，∴①正确；
②令

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AC

=

c

，
∵

AB

•

CD

=0，

AC

•

BD

=0，
∴

AB

?(

AD

-

AC

)=

a

?(

b

-

c

)=0，解得

a

•

b

=

a

•

c

①

AC

?(

AD

-

AB

)=

c

?(

b

-

a

)=0，解得

c

?

b

=

a

?

c

  ②，
∴

c

?

b

=

a

?

b

，即

c

?

b

-

a

?

b

=

b

?(

c

-

a

)=0，
即

AD

?(

AC

-

AB

)=

AD

?

BC

=0，∴②正确．
③∵

BC

=

AC

-

AB

，

BD

=

AD

-

AB

，

AB

•

AC

=0，

AC

•

AD

=0，

AB

•

AD

=0．
∴

BC

?

BD

=(

AC

-

AB

)?(

AD

-

AB

)=

AB

2＞0，
∴∠CBD为锐角，同理

CD

•

CB

＞0，

DB

•

DC

＞0，
即△BDC是锐角三角形，∴③正确．
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若

0P

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（其中x、y、z∈R），只有当x+y+z=1时，P、A、B、C四点才共面，∴④正确．
故正确是个数有4个，
故选：D．

点评：本题主要考查与向量有关的命题的真假判断，要求熟练掌握向量的有关概念，考查学生的推理判断能力．