Question

【题目】已知椭圆C：（）过点，短轴一个端点到右焦点的距离为2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过定点的直线1与椭圆交于不同的两点A，B，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆上，求直线l的斜率k．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离为2可知，且椭圆过点，得到方程组，解得；

（2）设直线方程为，通过以线段为直径的圆过坐标原点可知，通过联立直线与椭圆方程、利用韦达定理化简，进而计算可得结论；

解：（1）由题意可得，

解得：，，

椭圆的方程为；

（2）由题意知，直线的斜率存在，设过的直线方程为，

联立，消去、整理得：，

因为直线与椭圆有两个交点，

解得或

设，，，，

则，

以线段为直径的圆过坐标原点，

，即，

，

即，解得：满足条件，

故