Question

【题目】设，若数列满足：对所有，，且当时，，则称为“数列”，设R，函数，数列满足，（）.

（1）若，而是数列，求的值；

（2）设，证明：存在，使得是数列，但对任意，都不是数列；

（3）设，证明：对任意，都存在，使得是数列.

Answer 1

【答案】(1) (2)见证明；(3)见证明

【解析】

（1），，分两种情况讨论得到.(2) 先证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列；再证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在，有解，存在；

当m为偶数，在，有解，存在.再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意，都存在，使得是数列.

（1），，当，，；

当，，，不符；综上所述，.

（2）当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；

当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；

当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；

当，，，，，，…，只需，

即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；

当，，，，，，…，只需，

即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；

综上，存在，使得是数列，但对任意，都不是数列.

（3），当，有解，存在；

，当，有解，存在；

，当，有解，存在；

，当，有解，存在；

……，

当m为奇数，在，有解，存在；

当m为偶数，在，有解，存在；

结合函数映射性质可知，当时，，

∴对任意，都存在，使得是数列.