Question

11．已知y=log_a（ax²-（3-a）x+2）在[0，1]上是增函数，则a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 题目所给的函数是一个对数型复合函数，可分两类，此两类为当a＞1时与当0＜a＜1时，再依据复合函数的单调性得出a满足的不等式组，求出a的取值范围．

解答 解：由题意y=log_a（ax²-（3-a）x+2）在[0，1]上是增函数．
当a＞1时，外层函数是增函数，由于内层函数的对称轴是x=$\frac{3-a}{2a}$，
由复合函数的单调性知，内层函数在[0，1]是增函数，
故有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-a}{2a}≤0}\\{a×{0}^{2}-（3-a）×0+2＞0}\end{array}\right.$，解得a≥3；
当0＜a＜1时，外层函数是减函数，此时内层函数在[0，1]上是减函数，
故有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-a}{2a}≥1}\\{a-（3-a）+2＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}＜a＜1$．
综上知，a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）∪[3，+∞）．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，1）∪[3，+∞）．

点评 本题考查对数函数的单调性与二次函数的单调性及复合函数单调性的判断，解题的关键是运用函数的单调性转化出参数满足的不等式组，本题易因为忘记真数大于0的限制，导致所求的参数的范围过大，转化时要注意保证等价，本题考查了判断推理的能力，是对数中难度较大、综合性较强的题目．