Question

4．已知点P（x，y）满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-7≥0}\\{x-y-1≤0}\\{x+y-5≤0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{xy}$的范围是[3，$\frac{17}{4}$]．

Answer 1

分析 利用分式函数的性质结合换元法设t=$\frac{y}{x}$，进行转化，然后作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：z=$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$+1，
设t=$\frac{y}{x}$，则z=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$+1=$\frac{1}{t}+t+1$，
作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-7≥0}\\{x-y-1≤0}\\{x+y-5≤0}\end{array}\right.$，对应的平面区域如图：
则t=$\frac{y}{x}$的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
由图象知OC的斜率最小，OB的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-7=0}\\{x+y-5=0}\end{array}\right.$得A（1，4），此时OA的斜率t=$\frac{4}{1}$=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{3x+y-7=0}\end{array}\right.$得B（2，1），此时OB的斜率t=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}$≤t≤4，
∵y=t+$\frac{1}{t}$+1在$\frac{1}{2}$≤t≤1上递减，在1≤t≤4递增，
∴当t=1时，函数取得最小值y=1+1+1=3，
当t=4或$\frac{1}{2}$时，y=4+$\frac{1}{4}$+1=$\frac{17}{4}$，y=2+$\frac{1}{2}+1$=$\frac{7}{2}$．
即3≤z≤$\frac{17}{4}$，
即z=$\frac{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}{xy}$的取值范围是[3，$\frac{17}{4}$]，
故答案为：[3，$\frac{17}{4}$]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据分式的性质，利用换元法进行转化结合基本不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．