Question

15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，椭圆上一点M（$\frac{2\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，满足．则椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

Answer 1

分析 利用数量积运算性质、点与椭圆的位置关系转化为点的坐标满足椭圆方程即可得出．

解答 解：设F₁（-c，0），F₂（c，0），∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=$（-c-\frac{2\sqrt{6}}{3}，-\frac{\sqrt{3}}{3}）$，$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=$（c-\frac{2\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}）$．
∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，∴$（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}$-c²+$（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}$=0，
∴c²=3．
∴a²-b²=3，①
又点M在椭圆上，∴$\frac{8}{3{a}^{2}}$+$\frac{1}{3{b}^{2}}$=1  ②
由①代入②得：$\frac{8}{3{a}^{2}}$+$\frac{1}{3（{a}^{2}-3）}$=1，
整理为：a⁴-6a²+8=0，
解得a²=2，或4，
∵a²＞3，∴a²=4，b²=1．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、点与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．