Question

5．已知 函数f（x）=x³+（m-4）x²-3mx+（n-6）x∈R的图象关于原点对称，其中m，n为实常数．
（1）求m，n的值；
（2）试用单调性的定义证明：f（x）在区间[-2，2]上是单调函数；
（3）当-2≤x≤2 时，不等式f（x）≥（n-log_ma）log_ma恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的对称性，得到方程，转化求解m，n即可．
（2）利用函数的单调性的定义直接证明即可．
（3）利用函数的单调性结合函数的定义域，转化求解即可．

解答 （本题14分）
解：（1）由已知得f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x）即-x³+（m-4）x²+3mx+（n-6）=-x³-（m-4）x²+3mx-（n-6）恒成立，即（m-4）x²+（n-6）=0恒成立，∴m=4，n=6…（4分）
（2）由（1）的f（x）=x³-12x，设-2≤x₁＜x₂≤2，$f（{x_1}）-f（{x_2}）=x_1^3-12{x_1}-x_2^3+12x{\;}_2=（{x_1}-{x_2}）（x_1^2+{x_1}{x_2}+x_2^2-12）$，
∵-2≤x₁＜x₂≤2，∴${x_1}-{x_2}＜0，x_1^2+{x_1}{x_2}+x_2^2-12＜0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在[-2，2]上是减函数   …（10分）
（3）由（2）知f（x）在[-2，2]上是减函数，
则f（x）≥f（2）=-16-16≥（6-log₄a）log₄a，
∴（log₄a-8）（log₄a+2）≥0，
∴log₄a≤-2或log₄a≥8，
∴$0＜a≤\frac{1}{16}$或a≥4⁸…（14分）

点评 本题考查函数的恒成立条件的应用，函数的单调性，考查转化思想以及计算能力．