Question

16．如图，有两条相交成60°角的直线xx′，yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox，Oy上，起初甲离O点3km，乙离O点1km，后来两人同时用每小时4km的速度，甲沿xx′方向，乙沿y′y方向步行，问：
（1）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；?
（2）什么时候两人的距离最短？

Answer 1

分析 （1）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，分情况讨论：当0＜t≤$\frac{3}{4}$或t＞$\frac{3}{4}$时，由余弦定理即可分别求PQ的值；
（2）由（1）可得PQ²=48（t-$\frac{1}{4}$）²+4，利用二次函数的性质即可求得t=$\frac{1}{4}$时两人的距离最短，最短距离为2km．

解答 解：（1）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，
则AP=4t，BQ=4t，
（Ⅰ）当0≤t≤$\frac{3}{4}$时，
PQ=$\sqrt{（3-4t）^{2}+（1+4t）^{2}-2（3-4t）（1+4t）cos60°}$=$\sqrt{48{t}^{2}-24t+7}$．
（Ⅱ）当t＞$\frac{3}{4}$时，
PQ=$\sqrt{（4t-3）^{2}+（1+4t）^{2}-2（4t-3）（1+4t）cos120°}$=$\sqrt{48{t}^{2}-24t+7}$，
综上（Ⅰ）、（Ⅱ）可知PQ═$\sqrt{48{t}^{2}-24t+7}$．
（2）∵PQ²=48（t-$\frac{1}{4}$）²+4，
∴当t=$\frac{1}{4}$时，（PQ）_min=2，
即在第15分钟末，PQ最短，最短距离为2 km．

点评 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，正确分析实际问题中的边角关系是解题的关键，属于中档题．