Question

6．如图，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C′，E点在线段AC′上，若二面角A-BD-E与二面角E-BD-C′的大小分别为30°和45°，则$\frac{AE}{EC′}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 取BD的中点O，连接AO，EO，C′O，推导出∠AOE=30°，∠EOC′=45°，∠OC′E=∠OAE，由正弦定理能求出$\frac{AE}{E{C}^{'}}$的值．

解答 解：取BD的中点O，连接AO，EO，C′O，
∵菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C′，E点在线段AC′上，
∴C′O⊥BD，AO⊥BD，OC′=OA，
∴BD⊥平面AOC′，
∴EO⊥BD，
∵二面角A-BD-E与二面角E-BD-C′的大小分别为30°和45°，
∴∠AOE=30°，∠EOC′=45°，
∵OC′=OA，∴∠OC′E=∠OAE，
由正弦定理得$\frac{OE}{sin∠O{C}^{'}E}$=$\frac{E{C}^{'}}{sin∠EO{C}^{'}}$，
$\frac{OE}{sin∠OAE}=\frac{AE}{sin∠AOE}$，
∴$\frac{E{C}^{'}}{sin∠EO{C}^{'}}=\frac{AE}{sin∠AO{E}^{'}}$，
∴$\frac{AE}{E{C}^{'}}$=$\frac{sin30°}{sin45°}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．