Question

1．（Ⅰ）已知x²+y²=1，求2x+3y的取值范围；
（Ⅱ）已知a²+b²+c²-2a-2b-2c=0，求证：$2a-b-c≤3\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知x²+y²=1，由柯西公式（x²+y²）（4+9）≥（2x+3y）²，即可求2x+3y的取值范围；
（Ⅱ）由柯西公式[（a-1）²+（1-b）²+（1-c）²]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1-b）+（1-c）]²，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：由柯西公式（x²+y²）（4+9）≥（2x+3y）²，
则|2x+3y|$≤\sqrt{13}$，
∴-$\sqrt{13}$≤2x+3y≤$\sqrt{13}$．
（Ⅱ）证明：由a²+b²+c²-2a-2b-2c=0，得（a-1）²+（1-b）²+（1-c）²=3，
由柯西公式[（a-1）²+（1-b）²+（1-c）²]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1-b）+（1-c）]²
得证：18≥（2a-b-c）²，所以$2a-b-c≤3\sqrt{2}$．

点评 本题考查柯西公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．