Question

10．已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（1）若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，求直线AB的斜率；
（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设直线AB的方程为：x=my+1，代入抛物线方程，由韦达定理可知：y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，则$\overrightarrow{AF}$=（1-x₁，-y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂），由$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，-y₁=3y₂，解得：m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即可求得直线AB的斜率；
（2）由（1）可知：丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=4$\sqrt{{m}^{2}+1}$，则四边形OACB面积S_OACB=2S_AOB=$\frac{1}{2}$•丨OF丨•丨y₁-y₂丨=丨y₁-y₂丨，即可求得4$\sqrt{{m}^{2}+1}$≥4，当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4．

解答 解：（1）由抛物线y²=4x的焦点在x轴上，焦点坐标F（1，0），
设直线AB的方程为：x=my+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理可知：y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，
$\overrightarrow{AF}$=（1-x₁，-y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂），
∵$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，
∴-y₁=3y₂，整理得：m²=$\frac{1}{3}$，解得：m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线AB的斜率k=$\frac{1}{m}$=±$\sqrt{3}$，
直线AB的斜率$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$；
（2）由（1）可知：丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=4$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
四边形OACB面积S_OACB=2S_AOB=$\frac{1}{2}$•丨OF丨•丨y₁-y₂丨=丨y₁-y₂丨=4$\sqrt{{m}^{2}+1}$≥4，
当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标坐标，三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．