Question

20．已知函数$f（x）={log_a}^{（3-ax）}$
（1）若f（x）的图象经过点（4，1），求a的值
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函数的图象经过的点，代入方程求解即可．
（2）利用复合函数的单调性，求出a，然后判断函数的定义域是否有意义，即可解答本题．

解答 解：（1）依题意知$f（4）={log_a}^{（3-4a）}=1$，
∴3-4a=a，
∴$a=\frac{3}{5}$…（4分）
（2）假设存在这样的实数a，则由题设知f（1）=1=${log_a}^{（3-a）}$，
∴$a=\frac{3}{2}$，此时$f（x）={log_a}^{（3-\frac{3}{2}x）}$，
但x=2时，$f（x）={log_{\frac{3}{2}}}^0$无意义，
故这样的实数a不存在．…（12分）

点评 本题考查函数的解析式的应用，复合函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．