Question

如图，过抛物线C：y²=2px的焦点F与x轴不垂直的直线交抛物线C与A、B两点，直线AO、BO分别与直线m：x=-p相交于M、N两点，则

S△ABO

S△MNO

=（　　）

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  1

  4

• D、

  1

  8

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线AB方程为y=k（x-

p

2

），代入y²=2px整理，表示出△ABO与△MNO的面积之比，即可得出结论．

解答： 解：设直线AB方程为y=k（x-

p

2

），
设M（-p，y_m），N（-p，y_n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y=k（x-

p

2

）代入y²=2px整理得k²x²-（2p+2k²）x+

k2p2

4

=0，
∴x₁•x₂=

p2

4

．
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在过抛物线C：y²=2px上，
得y1=

2px1

，y2=-

2px2

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂-2p

x1x2

，
∵直线AO、BO分别与直线m：x=-p相交于M、N两点，
∴y_m=-

2p x1

•p，y_n=

2p x2

•p，

OM

•

ON

=p²-

2p3

x1y1

，
∴

S△ABO

S△MNO

=

1 2 AO•BO•sin∠AOB

1 2 MO•NO•sin∠MON

=

AO

MO

•

BO

NO

=

x1x2-2p x1x2

p2- 2p3 x1y1

=

x1x2

p2

=

1

4

．
故选：C．

点评：本题考查直线与抛物线的关系，考查学生的计算能力，属于中档题．．