Question

对于函数f（x），若存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[λm，λn]，则称f（x）为“λ倍函数”，若f（x）=a^x（a＞1）为“1倍函数”，则a的取值范围为（　　）

• A、（1，

  e

  ）
• B、（

  e

  ，e）
• C、（1，e

  1

  e

  ）
• D、（e

  1

  e

  ，e）

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：先根据函数的定义判断出方程a^x=x，有两个不同实数解，进而分别设出f（x）=a^x，g（x）=x，分别进行求导，通过极值的对比建立不等式求得a的范围．

解答： 解：∵f（x）=a^x（a＞1）为“1倍函数”，
∴f（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]，
∵a＞1，
∴f（x）为增函数，
∴

f(m)=am=m f(n)=an=n

，
即方程a^x=x，有两个不同实数解，
设f（x）=a^x，g（x）=x，
则f′（x）=a^xlna，g′（x）=1，
令f′（x₀）=g′（x₀），即ax0lna=1，
∴a x0=

1

lna

=log_ae，x₀=log_a（log_ae），
如图可知g（x₀）＞f（x₀），
∴x₀＞a x0，即log_a（log_ae）＞log_ae，
∵a＞1，
∴log_ae＞e＞0，
∴0＜log_ea＜

1

e

，
∴1＜a＜e 

1

e

，
故选：C．

点评：本题主要考查了函数的性质，导数的性质与应用．考查了学生分析能力，数形结合思想起到了重要作用．